Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 215

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Из пары натуральных чисел (a; b), где a > b, за один ход получают пару (a + b; a - b).

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?

в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

—1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона АВ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах АВ, CD и AS отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM=DN=4 и AK=3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x²+x+7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px-(0,5x²+x+7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

На доске написаны десять различных натуральных чисел, которые удовлетворяют двум условиям: среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех этих десяти чисел равняться 11?

в) Каково наибольшее возможное значение среднего арифметического всех этих десяти чисел при данных условиях?

a) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3п; -п/2].