Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 213
Вопросы
Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
а) Решите уравнение 2cos3x-cos2x+2cosx-1=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2п; 7п/2].
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и К соответственно, причём DN : NC = SK : КС = 1 : 2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой ВС.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
В треугольнике АВС угол А равен 120°. Прямые, содержащие высоты ВМ и CN треугольника АВС, пересекаются в точке Н. Точка 0 - центр окружности, описанной около треугольника АВС.
а) Докажите, что АН = AO.
б) Найдите площадь треугольника АНО , если ВС = 3, ∠ABC = 15°.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом
предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Найдите все значения α, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно два различных корня.
a) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2п ; -п/2].
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и К соответственно, причём DN : NC = SK : КС = 1 : 3 . Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой ВС.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
