Банк заданий ЕГЭ по профильной математике

Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.

а) Плоскость α пересекает боковое ребро SD в точке L. Докажите, что BN:NC=DL:LS.

б) Плоскость α, делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если BN:NC=1:3.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=2√2, AD=6, AA₁=10. На рёбрах AA₁ и BB₁ отмечены точки E и F соответственно, причём A₁E:EA=3:2 и B₁F:FB=3:7. Точка T — середина ребра B₁C₁.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D₁.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.