Банк заданий ЕГЭ по профильной математике
Вопросы
В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число);
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму
A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD= 3, BC=DE = 4.
а) Докажите, что AC=CE
б) Найдите длину диагонали BE, если AD =6
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM=BP, AB=BQ.
а) Докажите, что BM=PQ
б) Найдите площадь треугольника APQ , если AM=BP = 8, AB=BQ=10
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня
Из пары натуральных чисел (a;b), где a >b , за один ход получают пару (a+ b; a-b)
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары ( 100;1) пару, большее число в которой равно 400?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару ( 806; 788) ?
в) Какое наименьшее a может быть в паре ( a; b) , из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений 
имеет ровно два различных решения.