Банк заданий ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x⁴​+(a−3)²=|x−a+3|+|x+a−3| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Найдите все значения параметра a, при которых система

имеет ровно два различных решения.

Найти все значения параметра a, при которых система неравенств

имеет хотя бы одно решение на отрезке [4;5].

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найти все значения параметра a, при которых уравнение

|x²+a²−6x+4a|=2x−2a

имеет ровно два различных корня.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно 4. На рёбрах АА₁ и BB₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM=BN=3.

а) Точки О и О₁ — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А₁B₁C₁ соответственно. Докажите, что прямая OO₁ содержит точку пересечения медиан треугольника CMN.

б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости CMN.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B₁ и C₁, причём BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC₁ прямой.

б) Найдите угол между прямыми BB₁ и AC₁, если AB=6, BB₁=15, B₁C₁=8.