Банк заданий ЕГЭ по профильной математике

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а)  Может ли n быть больше 6?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.

а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна 32.

б) Может ли сумма полученных чисел быть равна 29?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?

По кругу расставлено N различных натуральных чисел, меньших 365, так, что сумма любых трёх последовательных чисел не делится на 2, а сумма любых четырёх последовательных делится на 4

а) Может ли на круге быть 200 чисел?

б) Может ли на круге быть 109 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать N ?

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 1+1+111+11+11+1=136.

а) Можно ли получить сумму 132, если n=60?

б) Можно ли получить сумму 132, если n=80?

в) Для скольких значений n можно получить сумму 132?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80 % от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40 % от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Найдите все значения a, при которых уравнение (x+ln(x+a))²=(x−ln(x+a))² имеет единственное решение на отрезке [0;  1].

Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение 4^x+(a−6)2^x=(2+3|a|)2^x+(a−6)(3|a|+2) имеет единственное решение.

Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 25^x−(a+6)5^x=(5+3|a|)5^x−(a+6)(3|a|+5) имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 решения.