Банк заданий ЕГЭ по профильной математике
Вопросы
Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK=15, KL=6, LB=5.
В треугольнике ABC продолжения высоты CC₁ и биссектрисы BB₁ пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ∠ABC=40о, ∠ ACB=85о.
а) Докажите, что BM=CN.
б) Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 6.
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны.
б) Найдите отношение AM:MC, если площади треугольников AEM и CMK равны 4 и 9 соответственно.
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM — параллелограмм.
а) Докажите, что BC=DE.
б) Найдите длину стороны AB, если известно, что DE=4, AD=7, BE=8 и AB>BC.
Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠BB₁C₁=∠BAH.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁=18 и ∠BAC=30о.
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.
а) Докажите, что AE=AK.
б) Найдите отношение KE:BD, если ∠BAD=60о.
В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB=CN:NB=2:3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L.
а) Докажите, что AB+BC=4AC.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML=9/5, LN=3.
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D.
а) Докажите, что AE=AK.
б) Найдите AD, если CE=10, DK=9 и cos∠BAD=0,2.
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE=CE.
а) Докажите, что AL⋅BC=AB⋅AC.
б) Найдите EL, если AC=8, tg∠BCA=1/2.