Банк заданий ЕГЭ по профильной математике

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N​, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3.

а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4.

б) Найдите сторону ромба, если MN=√6.

В треугольнике ABC точки А₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=60^о, ∠BCA=45^о.

а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A₁H, если BC=2√3.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8. Известно, что AB=BC=CD=12.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые.

а) Докажите, что AM=DM.

б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 70^о, а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC.

В треугольнике ABC угол A равен 120^о. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что AH=AO.

б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=√15, ∠ABC=45^о.

Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.

а) Докажите, что BK=BE.

б) Найдите отношение KE:AC, если ∠BAD=30^о.

Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM=MO, CN=NO.

а) Докажите, что точки M, O и N лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение AM:MB, если AO=CO и BC:AD=17:31.

На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC.

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5, BC=10, ∠  BAD=60^о.

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.

б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC=10 и AB=24.

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=15 и AC=2√61.