Банк заданий ЕГЭ по профильной математике

В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.

а) Докажите, что ∠BAM=∠CAD.

б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB=√10, а BC=2BM.

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC.
с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бо́льшую окружность
в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите BC, если радиусы окружностей равны √15 и 15.

Окружность с центром O₁ касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O₂ касается сторон BC, CD и AD . Известно, что AB=10,BC=9,CD=30, AD=39.

а) Докажите, что прямая O₁O₂ параллельна основаниям трапеции ABCD.

б) Найдите  О₁O₂.

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD . На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки СК и BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=KO

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/100 площади трапеции ABCD

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N

а) Докажите, что AM=AN.

б) Найдите отношение CD:DN, если AB:BC=1:2, а cos∠BAD=23

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC₁:C₁B=21:10, BA₁:A₁C=2:3, AB₁:B₁C=2:5.

Отрезки BB₁ и CC₁ пересекаются в точке D.

а) Докажите, что четырёхугольник ADA₁B₁ — параллелограмм.

б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=63, BC=25.

Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD.

а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен ее боковой стороне.

б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если AO=CO и данная прямая делит сторону AB в отношении AM:MB=1:2.

В треугольнике ABC угол A равен 120^о. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что AH=AO.

б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=3, ∠ABC=15^о.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны CD в точке M. Луч AM вторично пересекает окружность в точке N, а прямую BC — в точке K, причём AN=4, MN=12.

а) Докажите, что ∠AMD=∠MCK.

б) Найдите основания трапеции.