Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 373
Вопросы
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K – середина ребра B1C1. Плоскость проходит через точки B, K и D.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости , если ребро куба равно 3.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что AM = 3MA1, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость перпендикулярно грани ABB1A1.
а) Докажите, что плоскость проходит через вершину C1.
б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости , если все ребра призмы равны 16.
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;
– выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
– к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат равна 12,6 млн рублей.
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 4,2 млн рублей;
– выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
– к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат равна 6,1 млн рублей.
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC=.
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3.
a) Докажите, что AN = 2KM.
б) Пусть P – точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключенного внутри треугольника KMN, если AB = 6, BC = 8.
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3.
a) Докажите, что AN = 2KM.
б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключенного внутри треугольника KMN, если AB = 10, BC = 16.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
имеет ровно одно решение.