Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 346
Вопросы
В квадрате ABCD точки М и N - середины сторон АВ и ВС
соответственно. Отрезки СМ и DN пересекаются в точке К.
а) Докажите, что <ВКМ = 45°.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВК, если AB = 2√14.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
х^2+а^2-2х-14a=|14x-2al
имеет больше двух различных корней.
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 150?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 142?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 500 до 800 включительно?
а) Решите уравнение
2sin3х - √3cos2x = 2sinx.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4п; -5п/2].
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 16, а боковое ребро SA равно 14. На ребрах АВ и SB отмечены точки м и К соответственно, причём AM =4, SK =2. Плоскость а перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и К.
а) Докажите, что плоскость а содержит точку С.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью а.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму.
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 54 040 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и ВЕ параллельны.
б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3,5 и 12.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
(х^2+3x-a)2 = 2x4 + 2(3x-a)2
имеет единственное решение на отрезке [0;2]
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 7, к каждому числу из второй группы — цифру 9, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 2 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?