Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 333
Вопросы
Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.
а) Плоскость α пересекает боковое ребро SD в точке L. Докажите, что BN:NC=DL:LS.
б) Плоскость α, делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если BN:NC=1:3.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=2√2, AD=6, AA₁=10. На рёбрах AA₁ и BB₁ отмечены точки E и F соответственно, причём A₁E:EA=3:2 и B₁F:FB=3:7. Точка T — середина ребра B₁C₁.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D₁.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 2. Точка T — середина ребра B1C1.
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является трапецией.
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью A1B1C1, если известно, что AB=32, AD=4, AA1=14.
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 1. Точка T — середина ребра B1C1.
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является трапецией.
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью A1B1C1, если известно, что AB=2√2, AD=7, AA1=6.
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 22 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 30 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 35 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».