Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 295

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:

– к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;

– вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.

a) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора?
b) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора?
c) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K : KC₁ = 1 : 3. Четырёхугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.

а) Докажите, что точка N – середина ребра BC.

б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.

Решите неравенство

В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит  платёж в 2029 году?

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.

а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4.

б) Найдите сторону ромба, если MN =

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22%.

а) Может ли в этом классе быть 4 девочки?

б) Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

а) Решите уравнение  sinx*cos2x-sin²x-cosx=0.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  [-5π/2; -π].