Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 292

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона АВ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах АВ, CD и AS отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM=DN=4 и AK=3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x²+x+7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px-(0,5x²+x+7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

На доске написаны десять различных натуральных чисел, которые удовлетворяют двум условиям: среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех этих десяти чисел равняться 11?

в) Каково наибольшее возможное значение среднего арифметического всех этих десяти чисел при данных условиях?

a) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3п; -п/2].

В правильной четырехугольной призме ABCA1B1C1 сторона АВ основания АВС равна 4, а боковое ребро АА1 равно 6. На ребрах ВВ1, СС1 и А1В1 соответственно отмечены точки N, K и P так, что CK:KC1= B1N:NB= B1P:PA1=1 :2. Плоскость KNP пересекает ребро А1С1 в точке F.

Решите неравенство

В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на 2 млн рублей на 4 года.

Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2033 года выплачивается остаток по кредиту в размере 406 тыс. рублей.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2752 тыс. рублей.

В треугольнике АВС точки N и Р — середины сторон АВ и ВС соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник АВС.

а) Докажите, что периметр треугольника АВС равен 4АС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если его периметр равен 28, ВАС = ∠120°.

Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств

имеет единственное решение.