Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 254
Вопросы
Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2]
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD
соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает
ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно,
что BK =1, KC = 3
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α , образующую сечение ABMN, где точки M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно.
Известно, что AB=BM =АN=5MN
а) Докажите, что точки M и N делят рёбра SC и SD в отношении 1: 4, считая
от вершины S
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью α
В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число);
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму
A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD= 3, BC=DE = 4.
а) Докажите, что AC=CE
б) Найдите длину диагонали BE, если AD =6
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM=BP, AB=BQ.
а) Докажите, что BM=PQ
б) Найдите площадь треугольника APQ , если AM=BP = 8, AB=BQ=10
