Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 211

а) Решите уравнение 16^{sin x}-6*4^{sin x}+8=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5п ; -7п/2]

Различные точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок АВ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

а) Докажите, что cos∠ASC + cos∠BSC = 1,5.

б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1, cos∠ASC = 2/3.

Решите неравенство

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы: 

— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца (r — целое число);

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга; 

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.

В треугольнике АВС точки М и N лежат на сторонах АВ и ВС соответственно так, что АМ : MB = CN : NB = 2 : 3. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается отрезка MN в точке L.

а) Докажите, что АВ + ВС = 4АС.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, если МL = 9/5, LN = 3.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

а) Может ли S быть равной ?

б) Может ли S быть равной ?

в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

а) Решите уравнение

3 ⋅ 9^{х + 1} − 5 ⋅ 6^{х + 1} + 8 ⋅ 2^2х = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− π/2 ; π].

Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.

а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO =14.

Решите неравенство