Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 211

Основанием четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является прямоугольная трапеция ABCD, в которой ∠BAD = 90^о, а основания АВ и CD соответственно равны с и b.

а) Докажите, что если с = 2b, то объёмы многогранников, на которые призму ABCDA₁B₁C₁D₁ делит плоскость СА₁, относятся как 5 : 4. 

б) Объёмы многогранников DA₁D₁СВ₁С₁ и ADA₁BCB₁, на которые призму ABCDA₁B₁C₁D₁ делит плоскость CDA₁, соответственно равны 50 и 40. Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если CD = 3, а AD = 2.

Решите неравенство

В сентябре 2027 года Мария планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 4,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

- в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;

- в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на (r - 3) % от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;

- в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;

- к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 7,2 млн рублей.

Сколько рублей составит выплата 2032 года?

В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона АВ равна а, а основание AD = с больше основания ВС = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD. 

а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону ВС, то b + с < 2а. 

б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если с = 12, b = 6, а = 10.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет одно или два решения.

Дано четырёхзначное число  где а, b, с и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём а≠0.

а) Может ли произведение а • b • с • d быть больше суммы а + b + с + d в 5 раз? 

б) Цифры а, b, с и d попарно различны. Сколько существует различных чисел  таких, что a • b • c • d > a + b + c + d?

в) Известно, что а • b • с • d = k(a + b + c + d), где k — двузначное число. При каком наибольшем значении  число k будет наибольшим?

а) Решите уравнение 2sin²x-3cos(-x)-3=0. 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Точки М и N - середины боковых сторон АВ и CD соответственно. Плоскость а проходит через точки М и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью а является трапецией. 

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью а, если AD = 9, ВС = 7, SO = 6, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Решите неравенство

В июле 2027 года планируется взять кредит на три года в размере 1200 тыс. рублей.

Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- платежи в 2028 и 2029 годах должны быть равными;

- к июлю 2030 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2030 году составит 673,2 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2028 года?