Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 209

 В правильной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB₁D₁ проведена прямая l.

а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок АС и делит его в отношении 2:1.

б) Найдите угол между прямыми l и СD₁.

Решите неравенство

 В июле 2023 года планируется взять кредит на 8 лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь с 2024 по 2027 год долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- каждый январь с 2028 по 2031 год долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тыс. рублей.

Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.

а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный.

б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что AB=CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 16/81 площади трапеции ABCD.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

 Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство  

−1 ⩽ cos x (cos2x − a − 1) ⩽ 1 верно при всех действительных значениях x.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известно, что AB = 2. Плоскость α проходит через вершины A₁ и B и середину M ребра CC₁.

а) Докажите, что сечение призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.

Решите неравенство

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 11?

б) Может ли это отношение быть равным 5?

в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5x² + 2x + 6) млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x² + 2x + 6).

Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не больше чем за 3 года?