Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 208

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых корни уравнения 5a^2х-2*4^х+9*(2a)^х=0 принадлежат отрезку [-3; 1].

Известно, что a, b, c, d, e и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 6, 7 и 16.

а) Может ли выполняться равенство a/b+c/d+e/f=11?

а) Может ли выполняться равенство a/b+c/d+e/f=1345/336?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма a/b+c/d+e/f?

а) Решите уравнение sin2x + cos2x = 1.

​б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

[-7π/2 ; −2π].

 В правильной призме ABCDA₁B₁​C₁D₁ с основанием ABCD боковое ребро равно , а сторона основания равна 2. Через точку А₁ перпендикулярно плоскости AB₁D₁ проведена прямая l.

а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок АС и делит его в отношении 3:1.

б) Найдите угол между прямыми l и СВ₁​.

 Решите неравенство

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:

- в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.

Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.

а) Докажите, что ∠AOB=∠COD = 90°.

б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что AB=CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 12/49 площади трапеции ABCD.

Найдите все такие значения a, при каждом из которых неравенство   −1 ⩽ sin x(a−cos2x) ⩽ 1 верно при всех действительных значениях x.

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 34?

б) Может ли это отношение быть равным 84?

в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?

а) Решите уравнение cos 2x + sin 2x + 1 = 0.

​б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π ; 9π/2].