Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 205
Вопросы
Предприятие планирует 1 июня 2029 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8,8 млн рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант 1 | - Каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; - кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными |
Вариант 2 | - 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2029 года, долг возрастает на 6 % по сравнению с концом предыдущего квартала; - во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть; - на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; - к 1 июня 2031 года кредит должен быть полностью погашен. |
На сколько рублей меньше откажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке К, а продолжение стороны DC — в точке Р; диагональ АС является биссектрисой угла KAD.
а) Докажите, что РС2=CD•РК .
б) Найдите АС:АР, если АВ:ВС=3:8.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре решения.
Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен - второе и один - третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает а первых, b вторых и с третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается 10а + 4b + с очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно a1; b1 и с1, а у спортсмена-2 – a2, b2, c2, то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
a1>a2,
a1=a2 и b1>b2 ,
a1=a2, b1= b2 и c1>c2.,
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену.
Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше р. Найдите наибольшее возможное значение р.
в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средними арифметическими значениями набранных очков у пяти спортсменов с наибольшими рейтингами и у пяти спортсменов с наименьшими рейтингами.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K – середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь четырехугольника BCPQ составляет 3/4 площади треугольника SBC.
б) Найдите объем пирамиды KBCPQ.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, еcли общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём AE=ED=CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.
а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если BD = 6, AE = 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
![{"type":"$$","id":"1","aid":null,"font":{"color":"#32323a","size":12,"family":"Arial"},"backgroundColorModified":false,"code":"$$\\left|x^{2}-a^{2}\\right|=\\left|x+a\\right|\\times{\\sqrt[]{x^{2}-4ax+5a}}$$","backgroundColor":"#ffffff","ts":1752856386378,"cs":"nAjdeKBj2eWWBgGRoGj+lA==","size":{"width":304,"height":26}}](https://lh7-rt.googleusercontent.com/docsz/AD_4nXfaOq607ydXzyKBDUgecNljKaLjrNniVYRY7zy2kF8Bh36hCv31iSR0ZOmB2tkqfpV69rFZ_YC-QKYyPpa9n64_gKaXEnaFzoR3Il63DlersivnTyLOtE2eQUgGJWW1ajH_gfNmzQ?key=KqmN6ve0KOE5VIba3fS8tg){kind=small}
имеет ровно один корень.
