Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 203
Вопросы
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка Е - середина стороны ВС. Через точку В перпендикулярно прямой АВ и через точку Е перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке К.
а) Докажите, что АК=KD .
б) Найдите угол BAD, если расстояние от точки К до прямой AD равно длине отрезка ЕС и ∠CED = 58° .
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 - красную, если на 4 - синюю, если на 5 - зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на 20 карточках есть синяя и зелёная отметки, на 20 карточках есть синяя и красная отметки, на 20 карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Получилось, что на 45 карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π ; 4π].
В правильной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре СС1 отметили кочку К так, что СК:KC1 = 4:1. Через точки К и D1 параллельно прямой DF1 провели плоскость .
а) Докажите, что плоскость пересекает ребро В1С1 в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями AFF1 и , если AB=4, AA1 = 15.
В июне 2028 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 22 % по сравнению с концом предыдущего года;
– каждый январь с 2034 по 2038 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года;
– к июню 2038 года кредит должен быть полностью погашен
На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2033 года?
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка Е — середина стороны ВС. Через точку В перпендикулярно прямой АВ и через точку Е перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке К.
а) Докажите, что АК = KD .
б) Найдите угол ADE, если расстояние от точки К до прямой AD равно длине отрезка ЕС и ∠ADC = 110°.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 - красную, если на 4 - синюю, если на 5 - зеленую. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на k карточках есть только синяя и зелёная отметки, на k карточках - только синяя и красная, на k карточках только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.
