Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 204
Вопросы
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-0,9 ; 2,9].
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах ВС, CD и SC соответственно отмечены точки К, N и F так, что BK:KC = CN:ND = 1:2, CF:FS = 2:7.
а) Докажите, что плоскости АВС и FNK перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды AFNK, если AB=AS=6.
Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант 1 | – Каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; – кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами. |
Вариант 2 | – 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2027 года, долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего квартала; – во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; – на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; – к 1 июня 2029 года кредит должен быть полностью погашен. |
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке продолжение стороны DС - в точке Р; диагональ АС является биссектрис угла KAD.
а) Докажите, что РС2 =CD*PK.
б) Найдите АС:АР, если ВС:АВ =2,5.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен второе и один - третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает а первых, b вторых и с третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается 10а+4b+с очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно а1, b1 и с1, а у спортсмена-2 – а2, b2 и с2, то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
– a1 > a2,
– a1=a2 и b1>b2,
– a1=a2, b1=b2 и c1>c2.
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?
в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл Q для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будут присваиваться 10а+k1b+k2c очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения k1 и k2, такие, что 1≤k2<k1≤ 9. Найдите все пары (k1; k2), при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла Q.
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2,3; 11,3].
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах ВС, CD и SC соответственно отмечены точки К, N и F так, что BK: KC = CN: ND =3:1, CF: FS = 3:13.
а) Докажите, что прямая AS параллельна плоскости FNK.
б) Найдите объём пирамиды SFNK, если AB = AS =8.
