Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 202

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 6. На ребре SА отмечена точка К такая, что KS = 1,5. Через точку К и середины рёбер BC и СD проведена плоскость α.

а) Докажите, что т плоскость α параллельна прямой CS.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AB=

Решите неравенство

В июне 2028 года Егор планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на 14% от суммы долга на конец предыдущего года;

– в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;

– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю 2032 года кредит должен быть полностью погашен.

Егору предложили взять кредит в банке G на таких же условиях, но только в первые два года долг будет увеличиваться на r%, а в последующие два года — на 14%. Найдите r%, если общая сумма выплат по кредиту в банке G меньше суммы выплат в банке N на 175 тыс. рублей.

На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE:EC=1:3. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR:RD=1:2.

а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 3:2, считая от вершины C.

б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR=

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень.

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 175, а во втором - каждое число равно 80. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 145.

а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 132?

б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 135?

в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π ; -2π].

В правильной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре СС₁ отметили точку К так, что СК:KC₁ = 3:1. Через точки К и D₁, параллельно прямой DF₁ провели плоскость . 

а) Докажите, что плоскость пересекает ребро В₁С₁ в такой точке N, что B₁N:NC₁  = 1:2.

б) Найдите угол между плоскостями EFF₁ и , если АB=10, АА₁ =4.

Решите неравенство

В мае 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тыс. рублей на 8 лет. Условия его возврата таковы:

– в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 17 % по сравнению с концом предыдущего года;

– в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года;

– к маю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2030 года?