Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 200

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [п/2; 2п]

Решите неравенство 

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 324 000 рублей.

Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?

Окружность с центром в точке 0 вписана в ромб ABCD и касается его сторон АВ, CD и AD соответственно в точках F, К и P.

а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD. 

б) Найдите площадь ромба ABCD, если известно, что FP=6 и РК=8.

На рёбрах АВ и А₁С₁ правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ отметили соответственно точки Т и К так, что АТ:ТВ=1:2 и А₁К = КС₁. Через точки К и С параллельно прямой ТА₁ проведена плоскость а. 

а) Докажите, что точка пересечения плоскости а с ребром АВ делит это ребро в отношении 2 : 1, считая от точки А. 

б) Найдите площадь сечения призмы АВСА₁В₁С₁ плоскостью а, если AB=, АА₁ = 3.

Найдите все значения а, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями, будет больше 6, но не больше 12. 

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает

нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

а) Может ли фишка оказаться на отметке «0», если Митя 45 раз бросил кубик?

б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «-35»?

в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «-40», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

Решите неравенство

В августе 2027 года Алина планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы: 

- в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;

- в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 13 % от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;

- в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;

- к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен. 

Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1690 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.

В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке Р. Через точку Р параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и МN соответственно в точках А и В. При этом АВ=КL. 

а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная. 

б) Найдите cos∠LKN, если КР : РМ = 4 : 3, АР : РВ = 3 : 2 .