Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 197
Вопросы
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].
Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, AP = 1,3AB. Через точку A перпендикулярно апофеме грани BCP проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит апофему грани BCP в отношении 119 : 25, считая от точки P.
б) Найдите угол между прямой AC и плоскостью α.
В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
- в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;
- в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
- к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составлять 6025 тыс. рублей. Сколько рублей составит выплата 2031 года?
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O₁ и радиусом r. Прямые OO₁ и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AP : PB=cos∠ACB.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 6, r = 4.
Найдите все значения α, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Трёхзначное число A имеет k натуральных делителей (в том числе 1 и A).
а) Может ли k быть равно 7?
б) Может ли k быть равно 25?
в) Найдите наибольшее k.
Основанием правильной треугольной пирамиды РАВС является треугольник АВС, АР : АВ = 3 : 4. На апофеме грани ВСР отметили точку К , которая делит эту апофему в отношении 1 : 4 , считая от точки Р. Через точки А и К параллельно прямой ВС проведена плоскость a.
а) Докажите, что плоскость a перпендикулярна апофеме грани ВСР.
б) Найдите угол между прямой АС и плоскостью a.
