Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 195

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1 : √2. Через вершину D проведена плоскость ⍺, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке М.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью ⍺ - это четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.

б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.

Решите неравенство

15 июня 2025 года бизнесмен Данила Сергеевич планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;

– в период с февраля по июнь в каждый из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту;

– в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту не превысит 20 млн рублей.

Окружность с центром в точке С касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС и пересекает его катеты АС и ВС в точках Е и F. Точка D - основание высоты, опущенной на АВ. I и J - центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.

а) Докажите, что точки Е и F лежат на прямой IJ. 

б) Найдите расстояние от точки С до прямой IJ, если АС = 2√3, ВС = 2.

Найдите все значения а, при каждом которых оба уравнения имеют ровно по 2 различных корня и строго между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения.

Трёхзначное число, меньшее 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

а) Может ли n равняться 64?

б) Может ли п равняться 78?

в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?

а) Решите уравнение 2cosx*sin2x = 2sinx + cos2x. 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Грань ABCD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью А₁В₁С₁ является круг, вписанный в четырёхугольник А₁В₁С₁D₁.

а) Высота конуса равна h, ребро куба равно а. Докажите, что За < h < 3,5а. 

б) Найдите угол между плоскостями АВС и SA₁D₁ где S - вершина конуса.

Решите неравенство

В июле Егор планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Егору оформить кредит на следующих условиях:

– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая - может быть разным для разных годов);

– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

В первом банке процентная ставка по годам составляет 15, 20 и 10 процентов соответственно, а во втором - 20, 10 и 15 процентов. Егор выбрал наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита, если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 13 до 14 тысяч рублей.