Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 196

На сторонах АВ и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки К и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и ВСNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией. 

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, АК : КВ = 2 : 5, a BC < AD и BC = 4.

Найдите все такие значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Есть три коробки: в первой - 97 камней; во второй - 80, а в третьей коробке камней нет. Берут по одному камню из двух коробок и кладут их в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. 

а) Могло ли в первой коробке оказаться 58 камней, во второй - 59, а в третьей - 60? 

б) Может ли в первой и второй коробках камней оказаться поровну? 

в) Какое наибольшее количество камней может оказаться во второй коробке?

а) Решите уравнение 2sinx*sin2x = 2cosx + cos 2x. 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2 ; -π].

Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью А₁В₁С₁ является круг, вписанный в четырёхугольник A₁B₁C₁D₁; AB=а, AA, = √2а.

а) Высота конуса равна h. Докажите, что 4,5а < h < 5а.

6) Найдите угол между плоскостями АВС и SD₁C₁, где S - вершина конуса.

Решите неравенство

В июле Анна планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Анне оформить кредит на следующих условиях:

– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая - может быть разным для разных годов);

– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

В первом банке процентная ставка по годам составляет 10, 20 и 15 процентов соответственно, а во втором - 15, 10 и 20 процентов. Анна выбрала наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита, если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 14 до 15 тысяч рублей.

На сторонах АВ и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки К и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и ВСNК также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,2.

а) Докажите, что прямые KN и AD параллельны. 

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BCNK, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 7, АК : КВ = 9 : 10, а ВС < AD и ВС = 10.

Найдите все такие значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735. 

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов? 

б) Может ли последовательность состоять из шести членов? 

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?