Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 194

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения.

Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причём k = nm + q, где q кг - остатки материала, и q m. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа, причём из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.

а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 50 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 51 - уже нет?

б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 32 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 33 - уже нет?

в) Найдите все такие числа п, что фабрика может выпускать п новых деталей из 10 кг материала, не нарушая условия q < m.

а) Решите уравнение log₂²(4x²)+3log_0,5(8x)=1.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,15 ; 1,5].

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1 : √2. Через вершину D проведена плоскость ⍺, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке М.

а) Докажите, что М - середина SB.

б) Найдите расстояние между прямыми АС и DM, если высота пирамиды равна 6√3.

Решите неравенство

15 июня 2025 года бизнесмен Сергей Данилович планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;

–в период с февраля по июнь в каждый из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту;

– в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту превысит 12 млн рублей.

Окружность с центром в точке С касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС и пересекает его катеты АС и ВС в точках Е и F. Точка D - основание высоты, опущенной из вершины С. I и J - центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.

а) Докажите, что I и J лежат на отрезке EF.

б) Найдите расстояние от точки С до прямой IJ, если АС = 15, ВС = 20.

Найдите все значения a, при каждом из которых оба уравнения имеют ровно по 2 различных корня и строго между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения.

Трехзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

а) Может ли n равняться 68? 

б) Может ли n равняться 86?

в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?

а) Решите уравнение log₂²(8x²)-3log₄(2x)-1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,4; 0,8].