Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 434
Вопросы
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K:KC₁=1:2. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.
Точка M — середина ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD. Точка N лежит на ребре SB, SN:NB=1:2.
а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью CMN, если все рёбра пирамиды равны 6.
На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB=CN:NB=1:2. Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B₁N и CM перпендикулярны.
б) Плоскость α проходит через точки N и B₁ параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B₁N=6.
Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.
а) Плоскость α пересекает боковое ребро SD в точке L. Докажите, что BN:NC=DL:LS.
б) Плоскость α, делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если BN:NC=1:3.
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении A₁M:MD₁=1:2, а точка K — середина ребра DD₁.
а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB₁ пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC, если ∠MKC=90°, ∠ADC=60°.
На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E:EA=1:2, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F:FB=1:5, а точка Т — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB=2, AD=6, AA₁=6.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA₁B₁.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через середину M диагонали AC₁ проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=5, BC=3, AA₁=4.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D₁.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A₁B₁.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=2√2, AD=6, AA₁=10. На рёбрах AA₁ и BB₁ отмечены точки E и F соответственно, причём A₁E:EA=3:2 и B₁F:FB=3:7. Точка T — середина ребра B₁C₁.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D₁.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известно, что AB=2. Плоскость α проходит через вершины A₁ и B и середину M ребра CC₁.
а) Докажите, что сечение призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.