Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 343
Вопросы
В июле 2026 года планируется взять кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным первоначальному;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 11 млн рублей.
Точки Р, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении АР: PB= CQ:QB= CW:WD=1:2. В треугольнике PQW угол W острый, при этом радиус описанной около этого треугольника окружности равен 25/4, РQ=12, QW =7/2.
а) Докажите, что треугольник PQW прямоугольный.
б) Найдите площадь четырехугольника АВСD.
Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
|х+2а+12|+|х-2а-18|≤4|х|+4|х-3|
выполняется при всех значениях х.
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них
равно 6, a среднее арифметическое шести наибольших равно 18.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 4?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 14?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.
a) Решите уравнение 3cos2x - 7sin(п/2+x) -2=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7п/2; 5п]
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах А1В1, В1С1 и ВС отмечены точки М, К и N соответственно, причём В1К : КС1=1:5. Четырёхугольник AMKN - равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 3.
а) Докажите, что точка N — середина ребра ВС.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 72, а высота призмы равна 4.
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 150 тыс. рублей;
— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 185,9 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
В квадрате ABCD точки М и N - середины сторон АВ и ВС
соответственно. Отрезки СМ и DN пересекаются в точке К. а) Докажите, что <ВКМ = 45°.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВК, если AB = 4√5.