Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 308
Вопросы
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение a(x+4/x)²+2(x+4/x)−25a+10=0 имеет ровно два различных корня.
На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20.
а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на 21?
б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на 15?
в) Найдите наибольшее возможное число k такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на k.
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x⁴+(a−3)²=|x−a+3|+|x+a−3| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.