Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 309
Вопросы
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа n. Найдите наименьшее возможное значение n.
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5п/2; 4п]
B правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона АВ основания равна 5, а боковое ребро АА1 равно √5 . На ребрах ВС и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = C1L = 2. Плоскость у параллельна прямой BD и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая А1С перпендикулярна плоскости у.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка А1, а основание — сечение данной призмы плоскостью у.
В июле 2026 года планируется взять кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным первоначальному;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 4 млн рублей.
Точки Р, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении АР: PB= CQ:QB= CW:WD=1:3. В треугольнике PQW угол W острый, при этом радиус описанной около этого треугольника окружности равен 5/4, РQ=2, QW =3/2.
а) Докажите, что треугольник PQW прямоугольный.
б) Найдите площадь четырехугольника АВСD.
Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
|х+3а+10|+|х-3а-14|≤3|х|+3|х-2|
выполняется при всех значениях х.
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них
равно 7, a среднее арифметическое шести наибольших равно 21.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 5?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 16?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3п; -3п/2]