Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 303

Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n .

а) Существует ли такое число n, что 8n+S(n)=2024?

б) Существует ли такое число n, что 7n+S(n)=2024?

в) Для какого наименьшего натурального числа k найдётся хотя бы одно такое двузначное число n , что 9kn+S(n)=15671?

а) Решите уравнение

6) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Дан прямой круговой цилиндр. На окружности нижнего основания выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1. Отрезок ВВ1 является образующей цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра. 

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите величину угла между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ = 8, BB1 = , B1C1 = 15.

Решите неравенство

Для модернизации оборудования на технологической линии предприятие планирует 15 июня 2025 года взять в банке кредит на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Экономический анализ показал, что общая сумма выплат после полного погашения кредита окажется на 35% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Основание AD трапеции ABCD является диаметром окружности, проходящей через середину стороны АВ и касающейся прямой CD. 

а) Докажите, что треугольник ABD равнобедренный. 

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ВС = 4, <BDC = 30° .

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

a²+3|x|+3log₃(12x²+3)=2a+2|x-a|

имеет хотя бы один корень.

Юра распечатал на принтере карточки со всеми трёхзначными натуральными числами, которые равны n²+8n при некотором натуральном n. Когда его сестра Катя пришла из школы, она выбрала все карточки с числами, оканчивающимися цифрой 4.

а) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается «84»? 

б) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается «54»? 

в) Сколько всего у Кати карточек?

а) Решите уравнение

6) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Дан прямой круговой цилиндр. На окружности нижнего основания выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1. Отрезок ВВ1 является образующей цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра. 

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите величину угла между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ = 5, BB1 = , B1C1 = 12.