Банк заданий ЕГЭ по профильной математике - страница 257
Вопросы
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 1. Точка T — середина ребра B1C1.
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является трапецией.
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью A1B1C1, если известно, что AB=2√2, AD=7, AA1=6.
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 22 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 30 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 35 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD , и пересекающую боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите длину основания AD , если AO=CO , BC=31 и данная прямая делит сторону AB в отношении AM : MB = 4 : 5.
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD , и пересекающую боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите длину основания AD , если AO=CO , BC=17 и данная прямая делит сторону AB в отношении AM : MB = 3 : 4.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n .
а) Существует ли такое число n, что 2n+S(n)=2026 ?
б) Существует ли такое число n, что 4n+S(n)=2026 ?
в) Для какого наименьшего натурального числа k найдётся хотя бы одно такое двузначное число n , что 9kn+S(n)=10542?
