Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 225

Найдите все значения a, при каждом из которых оба уравнения имеют ровно по 2 различных корня и строго между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения.

Трехзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

а) Может ли n равняться 68? 

б) Может ли n равняться 86?

в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?

а) Решите уравнение log₂²(8x²)-3log₄(2x)-1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,4; 0,8].

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1 : √2. Через вершину D проведена плоскость ⍺, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке М.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью ⍺ - это четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.

б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.

Решите неравенство

15 июня 2025 года бизнесмен Данила Сергеевич планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;

– в период с февраля по июнь в каждый из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту;

– в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту не превысит 20 млн рублей.

Окружность с центром в точке С касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС и пересекает его катеты АС и ВС в точках Е и F. Точка D - основание высоты, опущенной на АВ. I и J - центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.

а) Докажите, что точки Е и F лежат на прямой IJ. 

б) Найдите расстояние от точки С до прямой IJ, если АС = 2√3, ВС = 2.

Найдите все значения а, при каждом которых оба уравнения имеют ровно по 2 различных корня и строго между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения.

Трёхзначное число, меньшее 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

а) Может ли n равняться 64?

б) Может ли п равняться 78?

в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?

а) Решите уравнение 2cosx*sin2x = 2sinx + cos2x. 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].