Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 221
Вопросы
В августе 2027 года Дмитрий планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 14 % от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;
– в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;
– к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1700 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.
В трапеции KLMN с основаниями KN и МL провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке Р. Через точку Р параллельно прямой КN провели прямую , которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках А и В. При этом АВ = КL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите соs∠LKN, если КР : РМ = 2 : 3 , АР : РВ = 1 : 2.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Среднее геометрическое k чисел p1,p2, ..., pk вычисляется по формуле 
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π].
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точки D и Е делят соответственно рёбра АС и SB так, что AD:DC = SE:EB = 1:3. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка О. Прямые OD и ОЕ пересекают рёбра AS и ВС в точках Р и F соответственно, причём CF = 2FB.
а) Докажите, что отрезки DE и РЕ пересекаются.
б) Найдите отношение АР : AS.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [п/2; 2п]
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 324 000 рублей.
Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?
Окружность с центром в точке 0 вписана в ромб ABCD и касается его сторон АВ, CD и AD соответственно в точках F, К и P.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите площадь ромба ABCD, если известно, что FP=6 и РК=8.