Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 330

Сначала Маша написала на доске 15 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 30. Затем вместо некоторых из чисел (возможно, одного) она написала на доске числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, она с доски стёрла.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 25. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 32?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 25. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

а) Решите уравнение 10^sinx=5^sinx*2^cosx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2п; 7п/2].

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=5 и BC=√14. Длины боковых рёбер пирамиды SA= 4√3, SB= 2√21, SD= √62. 

а) Докажите, что SA — высота пирамиды SABCD .

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Решите неравенство

15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо оплатить часть долга одним платежом;

• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма платежей после полного погашения равнялась 3,6 млн рублей?

Высоты ВВ1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.

а) Докажите, что ∠BB1С1 = ∠BAH.

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС, до стороны ВС, если В1С1‎ = 21 и ∠ВАС=60°.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Сначала Маша написала на доске 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 30. Затем вместо некоторых из чисел (возможно, одного) она написала на доске числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, она с доски стёрла.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 30?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

а) Решите уравнение 6^cosx=2^cosx*3^-sinx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5п/2;-п].

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ =12 и ВС =5. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 2√30, SB =2√66, SD = √145 .

а) Докажите, что SA — высота пирамиды SABCD. 

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.