Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 321
Вопросы
У Ани есть 800 рублей. Ей нужно купить конверты (большие и маленькие). Большой конверт стоит 32 рубля, а маленький — 25 рублей. При этом число маленьких конвертов не должно отличаться от числа больших конвертов больше чем на пять.
а) Может ли Аня купить 24 конверта?
б) Может ли Аня купить 29 конвертов?
в) Какое наибольшее число конвертов может купить Аня?
а) Решите уравнение cos2x-cos2x=0,75.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3п/2; 3п].
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. На ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ =1,6. Через точки К и С1 проведена плоскость а, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что А1Р: PB1 = 3:1, где Р — точка пересечения плоскости а с ребром A1B1.
б) Найдите угол между плоскостями а и BB1С1.
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 % больше суммы, взятой в кредит. Найдите r%.
Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 9 и АМ : MC = 1:8.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
(|x+2|+|x-a|)2-4(|x+2|+|x-a|)+3a(4-3a)=0.
имеет ровно два решения.
На сайте проводится опрос, кого из 156 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 45. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться на 150 или больше?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
а) Решите уравнение cos2x-cos2x=0,25.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3п; -п/2].
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 3. На ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ =2,5. Через точки К и С1 проведена плоскость а, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что А1Р: PB1 = 4:1, где Р — точка пересечения плоскости а с ребром A1B1.
б) Найдите угол между плоскостями а и BB1С1.