1) «НАУТРО, выспавшись, катались на лыжах, а ЗАТЕМ сидели за столом и не могли оторваться от учёных разговоров».

✏️ Наутро — пишется слитно, так как это наречие (когда? наутро = утром).
✏️ Затем — пишется слитно, так как это местоименное наречие.

2) «Эта ночь была ТАК ЖЕ великолепна, как та, которую Алексей запомнил НАВСЕГДА».

✏️ Так же — пишется раздельно, так как входит в устойчивое словосочетание «так же…, как».
✏️ Навсегда — пишется слитно, так как это наречие, образованное с помощью приставки НА- и слова «всегда».

3) «ЧТО БЫ ни происходило, штурман ВСЁ РАВНО сохранял спокойствие».

✏️ Что бы — пишется раздельно, так как это сочетание местоимения с частицей БЫ (частицу можно переставить: что ни происходило бы…).
✏️ Все равно — пишется раздельно, так как это частица.

4) «Мы сказали ДРУГ ДРУГУ много добрых слов и В ЗАКЛЮЧЕНИЕ обменялись подарками».

✏️ Друг другу — пишется раздельно, написание необходимо запомнить.
✏️ В заключение — пишется раздельно, так как это производный предлог (можно заменить на «в итоге»).

5) «А вечером он сидел опять ЗА ТЕМ же столом и, положив голову на руку, слушал Настасью Петровну и пытался понять, ПОЧЕМУ ему так хорошо в этом доме».

✏️ За тем — пишется раздельно, так как это сочетание указательного местоимения с предлогом.
✏️ Почему — пишется слитно, так как это союз.

Задание 10810 ЕГЭ по русскому языку