Математика профиль ЕГЭ - банк заданий - страница 300
Вопросы
Высоты ВВ1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
а) Докажите, что ∠BB1С1 = ∠BAH.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС, до стороны ВС, если В1С1 = 4√15 и ∠ВАС=30°.
Сначала Маша написала на доске 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Затем вместо некоторых из чисел (возможно, одного) она написала на доске числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, она с доски стёрла.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 29. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 29. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,25.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5п/2; -п].
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 9. На ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ =7. Через точки К и С1 проведена плоскость а, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что А1Р: PB1 = 5:2, где Р — точка пересечения плоскости а с ребром A1B1.
б) Найдите угол между плоскостями а и BB1С1.
15 января планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 28% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 5 и АМ : MC = 1:24.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
(|x+4|+|x-a|)2-5(|x+4|+|x-a|)+3a(5-3a)=0.
имеет ровно два решения.
На сайте проводится опрос, кого из 156 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 12 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 58. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?