а)Обозначим через a и b углы CAB и ABC соответственно. Тогда углы IAB и ABI равны a/2 и b/2 соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол BIA равен 180°-a/2-b/2. Такая же величина вертикального угла LIK .

По условию около четырёхугольника CKIL можно описать окружность. Следовательно, угол BCA дополняет угол LIK до 180°. С другой стороны, по теореме о сумме углов треугольника угол BCA дополняет до 180° сумму углов a и b. Следовательно, 180°-a/2-b/2 = a+b, откуда a+b=120°. Значит, угол ВСА равен 60°.

б) Поскольку точка является точкой пересечения биссектрис AK и BL, она также лежит на биссектрисе угла BCA и является центром вписанной окружности в треугольник ABC . Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра IH, опущенного из этой точки на сторону BC. По доказанному, угол HCI равен половине угла BCA , то есть он равен 30°. В прямоугольном треугольнике HCI против угла в 30° лежит катет IH. Следовательно, IH = ½IC=4.

Площадь треугольника ABC равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна ½ * 41 * 4= 82.

Ответ: б) 82

Задание 33235 ЕГЭ по профильной математике