а) Прямоугольные треугольники МВС и NCD равны по двум катетам (BM = CN = АВ/2; ВС=СD), значит, <NCK = <CDN. В треугольнике NCK <NKC = 180° - <KNC - <NCK =180° - <DNC - <CDN = <NCD =90°, то есть прямые МС и ND перпендикулярны.

В четырёхугольнике MBNK углы В и К прямые, значит, точки В и К лежат на окружности с диаметром MN. Вписанные углы BNM и ВКМ, опирающиеся на одну дугу, равны. В прямоугольном треугольнике MBN катеты равны, значит, < BNM = 45°. Следовательно, < BKM = 45°.

б) В четырёхугольнике AMKD углы А и К прямые, значит, точки А и К лежат на окружности с диаметром MD. Вписанные углы МКА и MDA, опирающиеся на одну дугу, равны.

В прямоугольном треугольнике MAD катет МА вдвое меньше катета AD, откуда получаем tg<MDA=0,5; sin<MDA=√5/5; cos<MDA=(2√5)/5.

Радиус R окружности, описанной около треугольника АВК, равен

Ответ: (5√6)/3

Задание 29085 ЕГЭ по профильной математике