Рассмотрим кусочно-линейную функцию

При x < −1 имеем y= -2х+а²-1, при −1 ≤ х< а² имеем y= a²+1,

при x ≥ a²имеем y=2х+а²-1 . На промежутке ( −∞ − ; 1] функция убывает,

y (-1 ) = a² + 1 , на промежутке [-1;a²) функция принимает постоянное значение

a² +1; на промежутке [a²; + ∞) функция возрастает, y (a² ) = a²+1.

Таким образом, значение y=a² +1 принимается при всех x таких, что −1 ≤ x≤ a² ; значения y < a²+1 не принимаются ни при каких x, а каждое из значений y > a²+ 1 принимается при двух различных x.

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, должны выполняться следующие условия: на промежутке ( a²+1; + ∞); уравнение y²-7у+4а+4=0 должно иметь ровно один корень, причём число a²+1 не должно являться корнем этого уравнения.

Эти условия выполнены в двух случаях.

В первом случае уравнение y²-7у+4а+4=0 имеет единственный корень,

причём он больше a² +1. Дискриминант уравнения D = 33-16a² равен нулю при При каждом из этих значений a уравнение имеет ровно один корень

удовлетворяют условию задачи

Во втором случае уравнение y²-7у+4а+4=0 имеет два корня, причём один из них больше a² +1, а другой меньше a² +1. Это равносильно

неравенство f a (а²+1 ) < 0 равносильно неравенству , откуда

получаем

Ответ:

Задание 16164 ЕГЭ по профильной математике