Пусть abcd - искомое число (a  — число тысяч, b  — число сотен, с  — число десятков, d  — число единиц). По условию abcd<1640. Кроме того, числа не равны друг другу. Проанализируем теперь то, что искомое число делится на каждую свою цифру.

Если искомое число содержит цифру 5, то эта цифра должна стоять на 4-⁠м месте. Это просто понять из того, что признак делимости на 5  — это 0 или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет стоять где-⁠нибудь не на последнем месте, то тогда, согласно признаку делимости на 5, еще одна 5 будет стоять в конце числа, а это противоречит условию задачи.

Первая цифра  — единица. Это очевидно из того, что искомое число больше 1340 и меньше 1640.

На втором месте могут стоять цифры 3, 4, 6.

Если на втором месте стоит цифра 3, то сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма первых двух цифр: 1 + 3  =  4. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 21. Рассмотрим варианты:

4 + x + y  =  21 (x  =  8, y  =  9: 1389  — не подходит, так как не делится на 8, 1398  — не делится на 9).

4 + x + y  =  18 (x + y  =  14: x  =  5, y  =  9: 1395  — число делится на 3, на 9 и на 5; x  =  6, y  =  8: 1368  — число делится на 3, на 6, на 8, x  =  7, y  =  7  — не подходит).

4 + x + y  =  15 (x + y  =  11: x  =  2, y  =  9  — не подходит, x  =  3, y  =  8  — не подходит, x  =  4, y  =  7  — не подходит, x  =  5, y  =  6  — не подходит).

4 + x + y  =  12 (x + y  =  8: x  =  7, y  =  1  — не подходит, x  =  2, y  =  6: 1362  — число делится на каждую из своих цифр, x  =  3, y  =  5  — не подходит, x  =  4, y  =  4  — не подходит).

4 + x + y  =  9 (x + y  =  5: x  =  4, y  =  1  — не подходит, x  =  3, y  =  2  — не подходит).

4 + x + y  =  6 (x + y  =  2: x  =  1, y  =  1  — не подходит).

4 + x + y  =  3 (x + y  =  1  — невозможно в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не равняется.

Если на втором месте цифра 4, то последние две цифры должны делиться на 4. Среди таких чисел (без повторяющихся цифр): 28 (не подходит), 32 (не подходит), 36 (не подходит), 68 (не подходит), 72 (не подходит), 76 (не подходит), 92 (не подходит), 96 (не подходит).

Если на втором месте стоит цифра 6, то сумма цифр числа должна делиться на 3 и, кроме того, число должно оканчиваться на четную цифру. Сумма первых двух цифр 1 + 6  =  7. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 24. Рассмотрим варианты:

7 + x + y  =  24 (x + y  =  17, x  =  8, y  =  9  — не подходят, так как число должно быть меньше 1640).

7 + x + y  =  21 (x + y  =  14: x  =  5, y  =  9  — не подходит, x  =  6, y  =  8  — не подходит, x  =  7, y  =  7  — не подходит).

7 + x + y  =  18 (x + y  =  11: x  =  2, y  =  9  — не подходит, x  =  3, y  =  8  — не подходит, x  =  4, y  =  7  — не подходит, x  =  5, y  =  6  — не подходит).

7 + x + y  =  15 (x + y  =  8: x  =  7, y  =  1  — не подходит, x  =  2, y  =  6  — не подходит, x  =  3, y  =  5  — не подходит, x  =  4, y  =  4  — не подходит).

7 + x + y  =  12 (x + y  =  5: x  =  4, y  =  1  — не подходит, x  =  3, y  =  2  — число 1632 делится на каждую из своих цифр).

7 + x + y  =  9 (x + y  =  2: x  =  1, y  =  1  — не подходит).

Задание 21772 ЕГЭ по базовой математике